iPad Pro の Safari で時々動作の不具合がおこる

MacBookの「診断」とはディスクユーティリティの「First Aid」などのことでしょうか。

iPadはパソコンではないので、MacBookと同等の機能を求めるのは無理があると思います。

検証するのなら、まず工場出荷状態に戻してから、バックアップから復元せずに動作確認してみるとか。旅行サイトの件はSafariの問題でしょうから、他のアプリを入れなくても検証できますよね。YouTubeの場合はSafariで見るとどうなのか。異常なければアプリをインストールしてどうなのか確認するとか（通常はアプリをお使いの場合）。銀行関係はたぶん専用のアプリがあると思うので、それをインストールして確認する…と他のアプリを入れずに順を追って動作確認してみてはどうでしょう。

あと、いまさらですがiPad Proの機種は何ですか（設定＞一般＞情報の「機種名」）。すでにxyさんが書かれていますが、iPadOSが15なら、まず最新の16.5にアップデートしてから、上記の検証をお試しください。もしくはApple Storeに持ち込んで見ていただくのが、むしろ早いかもしれません（そこで初期化を勧められるかもしれないので、バックアップの作成をお忘れなく）。

そのiPad Proの不具合の可能性もありますが、問題なく動くというiPad miniとの違い（とくに入れているアプリ）はありますか？

たとえば、メインデバイスだということでセキュリティ関連のアプリを入れていたりしませんか？

原因としては端末自体や通信回線など、色々と想定可能なので、アップルストアに持参して相談するのが早道なのでは。

なお、iPadOSを最新（今日時点では16.5）に上げた状態で相談するのがいいかも。