OSのアップデートが出来ないので、やり方を詳しく教えて欲しいです。

破損している原因が不明ですのでまず日付と時刻が現在のそれであるかどうか確認してください。アプリケーションフォルダに古い macOS のインストーラがあればそれを削除してください。また不要な周辺機器は全て取り外してください。その上でセーフモードで起動した状態のままお好みの macOS インストーラをダウンロードしてインストールしてください。

Mac でセーフモードを使う方法 - Apple サポート (日本)

なお会社、学校などのネットワーク、あるいは VPN を使用している場合はアップデートに失敗する場合があります。

下記のような話もありますが古い投稿なので現在でも同じ手段が使えるかどうか不明です。

Can't Install macOS Mojave - Apple Community

macbook pro 13" 2017なら、最新のventura（13.4.1）にでもできます。ただ、catalina以降は32bitアプリは動きません。何か最初から付属してるアプリ以外のアプリや機能拡張をお使いなら、32bitかどうか注意する必要があります。また、アンチウィルスソフトはmacosのバージョンアップでトラブルの元になることが多いので、もしお使いならアンインストールしておきます。

32bitアプリはmojave（10.14）までなら動きますので、まずmojaveまでアップデートして、様子を見ながら（mojaveでは32bitアプリではアップデートが必要とかの警告が出ますのですぐわかります）、venturaまであげるのが良いと思います。macosのアップデートのインストールアプリは以下のサイトにsafariでアクセスすればダウンロードできます。

macOS をダウンロードする方法 - Apple サポート (日本)

ダウンロードすると、インストールアプリがアプリケーションフォルダーにインストールされますので、それをダブルクリックすればインストーラが実行され、アップデートできます。アップデートする前にtimemachineでバックアップをとっておくと安全です。また、トラブルに備えて、インストールアプリからusbインストーラを作っておくと、いざという時とても役に立ちます。例えば、アップデートがうまくいかなくて、内蔵ディスクのmacosが壊れてしまうと、最後の手段はusbインストーラで対処することになりかねませんが、そういう事態に落ち込むと、すでに手元のmacでusbインストーラを作成できませんので、最悪、修理に出すしかなくなります。

macOS の起動可能なインストーラを作成する - Apple サポート (日本)

> 「このmacOS Mojaveインストールアプリケーションは破損している

じゃ本当に破損してるのでは？

古いmac（10.11.6）で、お示ししたサポート記事のリンクからmojaveのインストールアプリをダウンロードして、mojaveをインストールできるかどうか試してみましたが、何の問題もなくmojaveにできました。日時を人為的に変えるようなこともする必要はありませんでした。

セーフモードでもダメなら、現在の10.13.6自体をクリーン再インストールしてからアップデートすることを考えても良いのかもしれません。

日付と時刻を確認してからセーフモードで起動した状態のまま（アップデートではなくフルインストーラを）ダウンロード → インストールしてみるとどうでしょうか。インストールに不要な周辺機器を接続している場合はそれを取り外してください。

Mac でセーフモードを使う方法 - Apple サポート (日本)

Macの年式を含む正確なモデル名は何ですか？

メニューバー左端のリンゴアイコンをクリックするとこのMacについてがありますので、それをクリック。すると必要な情報が出てきます。

日時を2020年あたりに変えてから（年を変えるだけで良いです。日付と時刻は自動的に設定はオフにする）mojaveのインストーラを実行してみては？