スクリーンタイムの表示で、バックグラウンドで動いる場合はグレーになるか

スクリーンタイムを開きます。

App使用時間の制限を開きます。

使用制限終了時にブロックが有効になっていることを確認してください。

一度アプリを削除して、その後再インストールすると制限時間を超えても使えてしまうんですよ。

ですから、お子さんが勝手に出来ないように制限をかける必要があります。

設定＞スクリーンタイム＞コンテンツとプライバシーの制限＞オン＞iTunesおよびApp Storeでの購入＞インストール＞「許可しない」にすると、ホーム画面からApp Storeのアイコンが消えてしまい、この状態ではお子さんはアプリのインストールだけでなく、アップデートも出来なくなります。

ですので、ファミリー共有の管理者はアップデートさせる度、一時的に「インストール」を「許可」に変更しなくてはなりません。

もし、それが面倒なのであれば「Appの削除」のみを「許可しない」にしても良いと思います。

（kao176さんが承認と購入のリクエストの設定をどうされているのか分かりませんので、そこはご自身で判断なさってください。）

「承認と購入のリクエスト」でお子様の買い物を承認制にする - Apple サポート (日本)