ケーブルや変換アダプタの規格に注意する必要があると思います。
iPhone 15に付属してるケーブルはpd対応の充電ケーブルで、情報伝達能力はUSB2.0相当しかありません。この規格では、20-30Wの電力を送ることはできますが、映像を送ることはできません。ちなみに、USB-A端子のついてるケーブルはせいぜいUSB3相当で、そもそも、USB-A端子にはpd対応に必要な線がありませんので、5V 900mA、4.5Wの電力しか送れません。ライトニングポートは情報転送に関してはUSB2.0相当の能力しかありません。ライトニング - USB-C変換アダプタはこの規格で作られてるとすると映像を送るのは無理ということになります。
USB-3以上の情報転送能力とpd対応の電力を送る必要があるなら、それなりのケーブル(Appleのthunderbolt 4 proケーブルなど)が必要です。Appleのproケーブルはとても高価ですが、他社製のケーブルの同等品ならもう少し安価に入手できます。iPhone 15 proなどをApple純正のシリコンケースに入れてると、USB-Cポートの周りの空きが十分でなく、thunderbolt 4 proケーブルを差し込むことができません。最近販売されてるThunderbolt 4ケーブルはpdは240W対応のものが多く、線も少し太いように思います。以前Apple Storeでも販売されてたThunderbolt 3 ケーブル(belkin製、pdは100W対応)のものはUSB-C端子の周りの厚みが薄く、シリコンケースに入れたiPhone 15 proにもピッタリ差し込むことができます。映像の転送が必要なら、ケーブルはthunderbolt 3以上のものが必要です。
iPhone 15についたUSB-CポートはUSB-C規格のものならなんでも接続できるとしてます。実際、AnkerなどのUSB-Cハブを繋いでやれば、ethernetポートであろうが、sdカードスロットであろうが、hdmiポートであろうが、ハブについてるどのポートでも使えます。こういうハブはpd対応の電力供給用のUSB-Cポートもついてますので、そこから20-30Wのpd対応のアダプタから給電できます。変にライトニング- USB-Cアダプタを噛ませて使うより、USB-Cハブを使うほうが問題がないように思います。