まずは、AppleDiagnosticsでハードウェアの検査をしてみては?
https://support.apple.com/ja-jp/HT202731
その上で、ほこりが大量に出るということは、それだけホコリを吸い込んでいたということですから、iMacの周りをマメに掃除をして、iMacの吸気口、排気口周りも掃除機等でホコリを取りましょう。
電源が落ちる原因は、
電気の使用量に対して、電気会社との容量契約がギリギリだったりしませんでしたか?
iMacの電源を取っていたコンセント周りが、タコ足配線になっていたりしませんでしたか?
分電盤からiMacまでの同じ壁内配線上に、消費電力の高い家電品や、ノイズを多く出す照明器具や空調等が繋がっていませんでしたか?
(インバータ方式の蛍光灯、サーモスタット内臓の空調機器、大きめのACモーター内蔵の機器、粗悪な充電器やACアダプタ等)
家が古くて、電気の配線が昔の規格の細いケーブルだったりしませんでしたか?
北関東のように雷の多い地域で、頻繁に落雷がありませんでしたか?
というわけで、原因は多岐に渡るので、その場で検証してみなければ、誰も分かりません。
もし、転居先でも同様に電源が落ちるなら、上記のような項目を中心に、電源環境を検証してみて下さい。