標準の「連絡先」アプリと独立した連絡先アプリを探してます

連絡先単体のアプリではありませんが、Yahoo!メール内にある連絡先を利用するのはどうでしょうか？

「Yahoo!メール」Appはもちろんですが、SafariやGoogle等のブラウザからログインすることでブラウザー版も利用できます。

Yahoo!メールヘルプ　

スマートフォンから利用したい

https://support.yahoo-net.jp/PccMail/s/article/H000007351

アドレス帳データをYahoo!メールの連絡先にインポートする

https://support.yahoo-net.jp/PccMail/s/article/H000004740

別のアプリというわけではないですが。

連絡先アプリはメールアカウントの連絡先と密接に関係してます。デフォルトではicloudメールの連絡先に連携させて使いますが、gmailのそれと連携させることもできます。この時、icloudメールで管理する連絡先とgmailで管理する連絡先は全く独立です。例えば、icloudの連絡先とgmailの連絡先を使うとして、両方の連絡先を同時に表示して使うこともできますし、片方だけ表示して使うこともできます。なので、複数のメールアカウントで連絡先を管理するというのもありなのでは？、と思いますが。

標準メールAppに連携させ、複数のアカウント（リスト）を管理することもできます。

しかしそういった場合、デフォルトアカウントに設定していないアカウント（リスト）の連絡先は標準メールAppの画面上で追加・編集しても消えてしまい反映されません。

反映させるには、アカウント本来の連絡先から行わなくてはいけないのです。

もちろんその都度、設定App＞連絡先＞「デフォルトアカウント」を編集したいアカウントに変更すれば可能になります。