スクリーンショットが撮れなくなった

> ショップでピンポイントで何かダウンロードができるものなのかどうか

スクリーンショットにそんな特別なものはありません。iOSの標準機能の一つです。

初期化するのは簡単ですよ。

設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去にするだけです。iOSはとても親切だから、これをやるとicloudへのバックアップの案内も出てきます。パスコード、Apple IDとそのパスワードは必須ですので、これらがきちんとわかってればすぐにできます。初期化して、元に戻すのに慣れてれば1時間くらいでできます。ま、コンテンツがたくさんあるともう少しかかるかもしれませんけど。

パソコンに繋いで新規デバイスとして復元でやっても良いです。この場合もパソコンにバックアップをとってやれば良いです。icloudに繋ぐよりはパソコンに線で繋ぐ方が速いでしょう。

どんな方法を試したか、具体的に書いていただかないと、まだ方法があるのか判断できません。

いちばん簡単なのは再起動ですが、それはまあ実施済みだと思います。

ハードウェアの故障なら修理が必要ですが、ソフトウェアの不具合なら、最終的には初期化（すべてのコンテンツと設定を消去）があります。店舗に行かなくてもできますが、そこまで試されましたか？

スクリーンショットを撮る - Apple サポート (日本)

に従ってやりましたか？

スクリーンショットが撮れないというのはハードの故障って考えにくいと思います。ボタンを押したり離したりするタイミングの問題だけと思うけど。本当にスクリーンショットが撮れないなら、ソフト的な問題と思いますので、修理に出すようなものではないと思います。