以前使っていたスマホと現在使用中のスマホが連動してしまう

デフォルトの設定では、新旧iPhoneが連動するのは普通だし、

>昔のスマホに新しいスマホが登録されて

いるのも、当然なんだけど。

>スマホを下取りに出す前の作業として、探すをオフにしようとしても出来ず

以下の手順を参照。

iPhoneを売却する/譲渡する/下取りに出す - Apple サポート (日本)

以前使ってたスマホで、設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去にできませんか？

これでやれば、最初にパスコード、Apple IDのパスワードなどが求められ、アクティベーションロックなどを解除してくれますので、後、新スマホと連携するようなことは起こりませんけど。