昔の Apple ID でパスワードを入力しないとアプリのアップデートができない

2ファクタ認証コードは、そのIDで信頼されたデバイスに追加されたデバイスがあればそちらに表示されるので必ずしもSMSで受信する必要はないはずなのですが、Macなどからアカウントにアクセスできるなら他の信頼できる電話番号を追加したらいいんじゃないでしょうか。iPhoneから操作する場合は一旦アカウントからサインアウトするか、Safariからappleid.apple.com にアクセスして追加できるかと思います。ただ、その時に信頼されたデバイスからアクセスしないとまた認証コードを求められるかも。

Apple ID の 2 ファクタ認証 - Apple サポート (日本)

(一部書き込みを訂正しました)

アプリは購入時のApple IDと紐付いてます。なので、昔のApple IDで購入したのなら、アップデートで昔のApple IDを要求されるのは当然です。昔のApple ID使えないなら、今のApple IDで再購入するしか無いです。こういうことがあるので、Apple IDは変えてはいけないのです。

Appleサポートに従った変更の場合は、前のApple IDのコンテンツを全て新Apple IDに継承できます。でも、前のApple ID使えないなら、この変更もできません。

Apple ID を変更する - Apple サポート (日本)

可能なら、今のapple IDで取り直す。