電話アプリの表示がおかしい

初期化はどのような方法で？

「設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去」でしょうか。

初期化したあと、バックアップからデータを戻さないで確認なさいましたか？

それでも直らないなら、故障ということも考えられると思いますが。

旧機種はまだお手元にあって起動する状態ですか？

もしそうなら、旧機種を最新までアップデートして、あまり使わないアプリを整理して（アンインストールする）、スリムな状態でバックアップをもう一度取り、それを今のiPhoneに復元するのはどうでしょう。

あるいは、バックアップを戻して、おかしくなった状態で、使用頻度の低いアプリから、データもろとも削除して再起動。これを繰り返して、原因となるアプリ（とそのデータ）を突き止めるぐらいしか、私には思いつきません（旧機種が使えない場合もこの方法になるかと）。もしセキュリティ系のアプリを使っている場合は、まっさきにそれを削除してみてください。

もうひとつは、バックアップデータを戻さないまま使うという方法ですが……戻せないと困るデータには、どんなものがありますか？

たとえば、連絡先やカレンダー、メモなどは、iCloudで同期していれば、同じApple IDでサインインすれば新しいiPhoneでも見られますから、おもにサードパーティーのアプリデータということになると思いますが、サードパーティーのアプリでも、データがクラウド上にあるものもありますよね（Dropboxとか）。戻せないデータが、なくても何とか許容できるのなら、そのまま使うというのも選択肢の一つかと思います。