モバイル通信になると Apple Music で曲がダウンロードできなくなる

いや、ですから「設定＞ミュージック＞ダウンロード」の「モバイル通信経由でダウンロード」です。

「モバイルデータ通信」は上の方に、「モバイル通信経由でダウンロード」は同じ画面のもっと下の方にありますが、この両方がオンになっていますか？

ストリーミングで聴くだけなら「モバイルデータ通信」がオンになっていればよいのですが、ダウンロードするためには、「モバイルデータ通信でダウンロード」もオンになっている必要があります。

あ、正確に読み取れなくて失礼しました。

モバイル通信下でできなくなるとはどういう状況ですか？

何かエラーメッセージはでませんか？

ストリーミング再生はできますか？

通信量の制限に引っかかっている可能性は？

原因がわからないのでご不満でしょうけれど、Wi-Fi環境があるのなら、ダウンロードは極力Wi-Fi環境下ですることにしてはどうでしょう。

それで時間があれば、簡単なところから…

関連するアプリを閉じたうえで、デバイスの再起動。

「設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞リセット」で、「ネットワーク設定をリセット」か「すべての設定をリセット」。

「設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去」（消去の前にバックアップがあることを確認してください。消去後は、まずバックアップから復元せずに、ダウンロードできるかどうか確認します）。

を順に試すとか。

あ、その前に、セキュリティアプリとか、VPNアプリはお使いではないですよね？（使っていたら、上記を試す前にアンインストールして動作確認してみてください）

私が思いつくのはこれくらいです。

モバイルデータ通信経由のダウンロードを許可していないのでは。

「設定＞ミュージック＞ダウンロード」の「モバイル通信経由でダウンロード」がオンになっているということですか？

上の方の「モバイルデータ通信」がオンになっているだけでは、ダウンロードはできないと思います。