iCloudにバックアップしたら他の端末の写真と共有してしまう

一般的には自分自身が使うなら複数の端末に関して同じApple IDにしてる方が何かと便利ですけど。

写真を共有したくなければ、その端末で設定＞Apple ID>iCloud>iCloud写真をオフにすれば良いです。他の項目についても、共有したくないものについてはオフにすれば良いです。現在オンになってても、オフにするときに、端末内のデータを消去するかどうか聞いてきます。この時に写真を残さないにすれば、iCloud由来の写真を全て削除できます。でも、キーチェーン、iPhoneを探すなどはオンで使う方が便利と思いますけど。

その端末と関わりを一切立ちたいです

新しいiPhoneを初期化して、新規Apple IDを作成し、個人環境を構築すればいいと思う。

Apple IDが変わった場合、旧Apple IDで購入（ダウンロード）したものは新Apple IDで再購入（再ダウンロード）することになります。