クイックスタートしたが新しい iPhone にショートメールが届きません

新しいiPhoneはWiFiに繋がってますか？

SIMが入ってて、モバイル通信を使えるようになってますか？

古いiPhoneにメッセージが届くということは、SIMが古いiPhoneに入ったままということはありませんか？

ただ、古いiPhoneのSIMがそのまま新しいiPhoneで使えるとは限りませんので、キャリヤーに相談してみてください。

新しいiPhoneでApple IDにはサインインできてますか？できてるとしたら、確認コードはどちらに届きましたか？新しいiPhoneにSIMが入ってて、そのSIMが有効なら、確認コードは新しいiPhoneにはSMSで届き、WiFiに繋がってるなら前のiPhoneには通知で届くかもしれません。

だから、新しい携帯で送受信できるように設定しないと。

ショートメッセージなら、SIMを新しい携帯に入れて、利用のための設定は済んでますか。

そもそもSIMは新しい携帯に対応してますか（キャリアによっては、契約変更、SIMの交換が必要になるかも）。

他の皆さんから色々コメントついていますが、念の為こちらもご参照ください。

iPhone の SIM カードを取り出す／入れ替える - Apple サポート (日本)

移行元が eSIMだった場合は、キャリア別に手順が違うかもです。

ショートメールとメールは全く違う代物ですが、何がどうなってるんですか。

新端末で利用するための設定（自分でやる）は済んですか。