AirDrop はデータ通信料がかかるのでしょうか？

恐らくAirDropとインターネット共有の使う機能が競合(重なっておかしくなること)してしまうのではないでしょうか。

今年5月ごろからデータ通信量が大幅に増加したため原因を探しています

とありましたので参考までに。

基本的にAirDropはBluetoothを使うのですが、最近のアップデートで送信中にBluetoothが届かない範囲になるとインターネット経由で送信するようになりました。ただ、そんな頻繁に届かない範囲(2階とかに行かない限り普通は家の中くらいだったら届くはずです。Bluetoothのヘッドホンを想像してください。届きますよね？)に行くわけでもないでしょうし、原因は別のところにあるのではと個人的には思います。

（今年5月ごろからデータ通信量が大幅に増加したため原因を探しています。）

「データ通信量」がモバイルデータ通信を指しているのならば、

設定アプリ＞モバイル通信

ここでは、何が通信量が多いかは確認したのでしょうか？