新iPhoneに旧iPhoneの写真以外のデータを引き継いで使いたいです

設定＞名前＞iCloud>写真

がオンになっているかオフかを確認してみてください。

新旧どちらもオンになっていませんか？

その場合は、旧iPhoneでオフにして、端末に写真を残すを選択すれば、旧iPhoneと新iPhoneの写真は同期されなくなるはずです。

iCloudと新iPhoneの写真は旧iPhone以外にもパソコン（HDDやメモリなど）にバックアップしてから削除すれば、新iPhoneは新しい写真だけでスタートできます。

旧iPhoneでもiPhoneにオリジナルをダウンロードするか削除するかが求められます。

iCloud写真に有る静止画や動画を落とせるだけの空き容量がなければオンのままにするのが最善では。

設定＞一般＞iPhoneストレージ から得られる空き容量と 設定＞(名前）＞iCloud＞写真 にてストレージを管理にて表示される容量の内、後者の方が小さいならダウンロード可能、前者の方が十分に大きく無いならダウンロードしない方が良い（≒オンのまま)。