古い iPhone にのみ写真を残し、新 iPhone からは削除したい

iCloud写真を使っているか否かで新しいiPhoneでの操作が変わると思います。

新しいiPhone＞設定＞アプリ＞写真 にてiCloud写真がオンになっていたら、オフにします、その時にiPhoneから写真を削除するかオリジナルをダウンロードするか聞かれますので削除を選択。

オフだったら、新しいiPhoneで写真アプリを起動して写真を全選択して削除。

新旧iPhoneで同じ写真を持たないのは何か理由が有るのでしょうか…?

覆水盆に返らず と、言いますしスペアは有った方が良いと思います。

iCloud写真を新iPhoneでオフのままだと新iPhoneで撮った写真は差分だけですが、オリジナルサイズでバックアップされます、iCloud写真をオンにするとバックアップは減量されます。

因みにiCloud写真をオンにしてサムネイルだけにすると（*)、機種にも依りますが4xxGBのものが十数GBに収まる事が有ります。

(*） 既定値で、オリジナルを常にダウンロードする事も可能。

iCloudバックアップを想定。

>削除する際に古いiPhoneの写真も一緒に消えないでしょうか？

設定によるので、消えていい写真で試して様子見するとか。

iPhoneのみにある写真はちょっとしたトラブルで無くすので、注意が肝要。

木藤さんの紹介した方法だと、新iPhoneではiCloud写真を使わなくなるので、頻繁に新iPhoneのバックアップが必要になります。

旧iPhoneにのみ写真を残して、iCloudから写真を削除して新iPhoneでiCloud写真を使う方法もあるけど、旧iPhoneが壊れたら一気に写真がなくなるので、別の媒体にバックアップは必須です。

どちらの方法が良いかはご本人次第です。