Mac - Apple Account の更新を求められるが、パスワード入力もサインアウトもできない

ネットワークに問題がないなら、まずVenturaを最新（13.7）にしてからApple Accountを更新してみては？

同じApple Accountで複数台のApple製のデバイスを使ってるなら、更新というのはエンド・ツー・エンド暗号化のリセットが必要なのでは？icloudなどとの通信は暗号化されてます。この暗号化の鍵は、当初はデバイスごとに決められます。このため、他のデバイスで行なったicloudとの通信を他のデバイスには、同じApple Accountにもかかわらず、わかりません。例えば、あるデバイスでメッセージでやり取りしたとしますと、そのメッセージのやり取りが暗号鍵が違うために他のデバイスには解読できないのです。それは非常に不便なので、エンド・ツー・エンド暗号化のリセットをします。これによって、同じApple Accountを使うデバイスではすべて共通の暗号鍵を使うようにします。これによって、あるデバイスで行なったメッセージのやり取りを他のデバイスでも表示できるようになります。この作業は、具体的には、Apple Accountのパスワード、そのデバイスでのパスコードあるいはパスワード、別のデバイスのパスコードあるいはパスワードを要求されて、完了します。