iPhone - 支払い方法の更新のやり方がよくわかりません

カードが変わりって、番号は同じだけど有効期限が変わっただけですか？

その場合なら、設定＞自分の名前（Apple Account)>お支払いと配送先を開け、現在のカードをタップして、有効期限を新しいものにして（2桁で月/4桁で西暦の年）、セキュリティコードを入力すれば、それで変更完了になりませんか。

カード番号も変わって全く別のカードになったのなら、追加でそのカードを登録します。追加したあとなら、前のカードを削除できます。

「設定＞氏名＞お支払いと配送先」で、カードが正常に登録されていることを確認なさいましたか？

カードを変更する前にエラーになってたのなら、まずAppleに連絡する必要があります。でないといくらカードだけ新しくしてもエラーは続きますよ。