MacBook Air 13″ - Bluetooth接続ができない

問題のキーボードの、メーカー、型番は？

あと、

キーボードは家にある他のMacBookとは接続できます。

マルチペアリング対応のキーボードなのですか？

サンワサプライ：マルチペアリングとマルチポイントは何が違うの？

マルチペアリング非対応の製品なら、その「他のMacBook」のほうで、ペアリング情報を削除していますか？

PC設定のカルマ：Mac - Bluetoothデバイスの接続を解除

エレコム：macOSのペアリング解除(削除)方法

キーボードをペアリングモードにしてますか。

粕谷明さんが言われている通りペアリング済みのMacからそのキーボードを削除するか電源を切った状態じゃないと無理だと思います。

キーボードをペアリングモードにした直後に自動的にそのMacが再ペアリングしてしまうので。