詳しい説明ありがとうございます。確かにエンドツーエンド絡みの可能性が高いかもしれません。旧端末Aでも過去に「設定のアップデート」を求められたことがあり、アカウントのパスワードを入力して完了できていました。
また私はMacを使用しておらず、PCでこのApple accountを使うことはほぼありません。
①Apple account設定をアップデート(設定アプリのバッジ通知)

塗り潰し部分には私のApple ID(アドレス)が表示されているので、そのアカウントのパスワードを入力すると、

試しに異なるパスワードを入力すると以下の画面になります。

②Apple accountの確認(通知ダイアログ)
③iCloudにサインイン(設定→アカウント→個人情報などにアクセスしようとすると、②と同時に表示される通知ダイアログ)
→webからログインできるパスワード入力しても不明なエラーで完了できない。
以上の3つでログインを求められます。①からログインを試みると、パスワード入力の前に「サインインし直す必要のあるアカウントサービスがあります」(続ける)と出てくるのですがこれは通常の仕様ですか?
特にパスワード入力後のエラーメッセージが2種類あるのがよくわからないのですが、「不明なエラー」はどういう状況で表示されるのでしょうか。パスワードは合っているけど認証が完了できないという不具合の可能性はありますか?
また、再度ログインできなくなると困るので根本的な原因がわからないままで、新iPhoneを初期化するのはやめた方がいいでしょうか。