"Apple IDサーバーへの接続時にエラーが起きました" 古いmacOS12で発生

古いmacって、正確なモデル名とその年式は何ですか？

macOS 12でアップグレード不可なら、確かに古いmacとは思います。そんなモデルなら、アクティベーションロックがかかるハード的な仕組みがありませんので強引に初期化だってできます。初期化しちゃえば、Appleアカウントからもサインアウトした状態になります。

起動時、command + Rとして復旧ユーティリティを立ち上げ、そのディスクユーティリティで、表示をすべてのデバイスを表示にして、消去のボタンをクリック。出てきたウィンドウで名前：Macintosh HD、フォーマット：APFS、方式：GUIDパーティションマップとして消去のボタンをクリック。消去完了後にディスクユーティリティを終了し、macOSの再インストールにすれば良いです。そうすれば初期化されたMontereyになります。

初期化しても、他のデバイスでAppleアカウントのデバイスリストを見るとそのmacが登録されたままになってると思います。その場合は、そのmacを選択して、デバイスリストから削除してしまえば良いです。

macOSをクリーン再インストールしてからやってますよね？

timemachineのバックアップを戻す際には、macOSがクリーンインストールされた後でないと戻せません。