ファームウェアパーティションがないためインストールできないとなりインストールできない

ディスクユーティリティ.Appでdisk0にEFIパーティションが作成できなければ要修理では？

過去にいろいろ行ったことの中にdisk0の初期化も試したことだろうし、それでもその状態ならお手上げ状態だと思うけども。

秋葉館等で、取り付け可能なストレージを購入し、内蔵ストレージを交換して適切にフォーマットしてあげればインストール可能となると思う。

最近は、内蔵ストレージが故障したままでは、インストールもままならないことがあるんですね。今後は、すべてのMacがロジックボードに直付けされたストレージ（iOSみたい！）となるようだから、交換部品が入手できるうちに交換するのをお勧めします。

もしくは、買い換えるのが一般論としては正論なのな云うまでもないけど。

これと似たような状況の様です。

https://applech2.com/archives/20171002-high-sierra-upgrade-issue-due-to-third-party-ssd.html

mac sierraがインストール出来… - Apple コミュニティ

mojaveにアップデートしようとしてるのは外付けssdじゃないんですか？

内蔵ssd(?)は完全に死んでます。これじゃ中身を取り出すことはもちろん、フォーマットもできないと思います。こちらにmacOSをインストールしようとしても無理です。修理に出すのが嫌なら、自分で交換もできる可能性はあるのでは？秋葉館とかで調べればmacbook air 2012で使える内蔵ssdとか売ってますよ。自分で交換すればssdの購入代金だけで済みます。外付けで普通に動くなら、内蔵ssdを交換するだけで動く可能性は高いと思います。ロジックボード上のsataコントローラが壊れてるという可能性もありますけど、診断で合格と出るならその可能性は小さいのでは？

内蔵ストレージは現在どうなってますか？

ファームウェアパーティションがEFI パーティションのことなら、内蔵ストレージのファームウェアパーティションのことを指してると思われます。

内蔵ストレージは問題ないですか？

el capitanはどのようにインストールしましたか？

macOSはディスクをあらかじめディスクユーティリティでGUIDパーティション方式、macOS拡張（HFS＋）のフォーマットにしておかないとインストールできません。GUIDパーティション方式にすると、ディスクの先頭にEFIというパーティションができます。ファームウェアパーティションとはこのEFIパーティションのことでは？

なので、正常にインストールしてればファームウェアパーティションがないなどとは言われないはずなんですが。ただ、適当なユーティリティで内蔵システムボリュームのイメージをそのままディスクにコピーする方法で「インストール」すると場合によってはEFIパーティション何になります。そういう状態じゃないですか？

なので、Mojaveにアップデートするには、一旦ディスクユーティリティでディスク本体を消去として、GUIDパーティション方式、macOS拡張にフォーマットしてからMojaveのインストールを行う必要があると思います。もちろんこの操作でディスクの中身は全部消えますので、あらかじめバックアップを取ってからやる必要があります。

突然死したのなら、死因を調べて何とかしないと！

El Capitanでも同じようなアラートが出たと思いますが、そのいろいろを再度行うしかないのでは？ 難易度は多分上がってると思いますが。

外付けSSDで起動し、ターミナル.Appで"diskutil list"コマンドの結果はどうなってます？

できれば、そのいろいろは書くべきですね。