起動ディスクのMac OS Xが再インストール出来ない。

失礼致します。

Macは「Mac　Book　Air (11-inch, Mid 2011）です。

MacBook Air（11-inch, Mid 2011）であれば、購入時には Mac OS X Lion（10.7, 10.7.2, 10.7.3 の何れか）がプレインストールされていたはずですので、インストール用 DVD は付属していませんね。

間違って、起動ディスク（Machintoshi HD）を消去してしまい、

トラブルシューティングではなく、間違って削除したとの事ですので、「Time Machine」でバックアップを取られている場合は、「command」+「R」キーを押し続けながら起動し、「macOS ユーティリティ」画面で「Time Machine バックアップから復元」を選択し、起動ディスク（「Macintosh HD」）を消去する直前の状態に復元 されては如何でしょうか？

Mac ですべてのファイルを回復する - Apple サポート

command (⌘) + R　と　option + ⌘ + R　でも駄目でした。

shift + option + ⌘ + Rでは画面に？表示の点滅で何の動作しない。

復旧用パーティションからも、インターネットからも再インストール出来ないと言う事は、MacBook Air（11-inch, Mid 2011）自体に不具合が有る可能性も有りますので、念の為 「command」+「R」キーを押し続けながら起動し、「macOS ユーティリティ」画面で「ディスクユーティリティ」を選択して、「First Aid」で起動ディスク（「Macintosh HD」）を修復 して見て下さい。

Mac で「ディスクユーティリティ」を使用してディスクを修復する - Apple サポート

また、下記リンクの手順で「Apple Hardware Test」を行なって、MacBook Air（11-inch, Mid 2011）のハードウェアに問題が無いか確認 して見て下さい。

Mac で Apple Hardware Test を使う方法 - Apple サポート

> 「command」+「R」キーを押し続けながら起動

command＋rで起動できるなら、そのディスクユーティリティで、First Aidのような中途半端なことするより、ディスク本体を選択して（表示をすべてのデバイスを表示にする）ディスクの消去するほうが良いです（名前：Macintosh HD、フォーマット：macos拡張、方式：guidパーティション方式）。ディスクの消去してから、macosの再インストールでmacosを再インストールします（クリーン再インストールになる）。この時、インストーラ本体はアップル社のサーバからダウンロードしますので、wifiによるインターネット接続ができてないとうまくゆきませんのでご注意ください。画面右上のwifiアイコンを見てればwifiが繋がってるかどうかわかります。なおこのダウンロードはアップル社のサーバといろいろやりとりをするようで単なるダウンロードよりは大分時間がかかります。

「mac os xをインストールするために必要な追加コンポーネントをダウンロードできません」「can't download the additional components needed to install os x」などのキーワードで検索すると macOS（OS X）の起動可能なインストーラ（あるいは DiskMaker X）で解決したという報告が見つかります。

個人的にはパーティションマップを再作成（MacBook Air のあらゆるデータが消えます）するとどうかなと。

2011のマシンなら、起動時option + command + rとしてインターネット復元できるはずです。

command + rで起動できないなら、インターネット復元するしかないです。

マックの年式を含む正確なモデル名は？

macosのバージョンは？

購入時にインストールdvdが添付されてた古いマックなら、インストールdvdからosxをインストールして、アップデートするしかないかもしれません。

なので、正確なモデル名情報は不可欠です。

「Time Machine バックアップ」も取っていませんでした。

そうすると他に復元手段は無いですかね？

バックアップが無いのは痛いですね・・・ iCloud に保存されているデータは、残っている可能性が有りますが、MacBook Air（11-inch, Mid 2011）にしか保存されていないデータは、データ復旧ソフト等で復旧出来るかどうかと言った所ですね。