黙って読んでいたのだけれど、疑問点だらけなので、指摘しておきます。
ヴァージョンですが、問題のある方はMojaveで、問題のない方は最近Catalinaにヴァージョンアップしました。
どちらも最初はel capitanでした。どちらも最初はel capitanでした。
まず、この一文が疑問。
Catalinaにバージョンアップしたのなら、その際に、10.14までのドライバは無効化されます。
だから、そのまま使えるはずはありません。
Catalina用のドライバをインストールし直しているはずです。
セキュリティとプライバシーという項目に、ドライバーを確認する項目は見つかりません。。
次に、この一文。
MojaveでASIXが配布しているAX88179チップのドライバをインストールしようとすれば、ドライバのインストール手順の中で、セキュリティとプライバシー環境設定で「許可」を与えるように、英文で警告ウインドウが出たはずです。
(エレコムのドライバは日本語で警告が出ます)
警告ウインドウのOKボタンをクリックする前に、当該環境設定を開いて「許可」を与えなければ、ドライバのインストールが終わっても使えるようにはなりません。
OKボタンをクリックして、インストーラがインストールを完了したとメッセージが出たので、インストールが出来たと勘違いして再起動していませんか?
ドライバのインストール時に、環境設定を開いて、この操作をしていれば、「確認する項目は見つかりません」という答えにはならないはず。

ドライバ導入の詳しい手順は下記ページを参考に。
Catalinaの事例ですが、Mojaveでも基本的には同じです。
https://plugable.com/ja/japanese/usb-ethernet-adapter-not-working-after-macos-catalina-10-15-update-we-can-help/
ただし、上記の手順を参考にした場合、Mojaveの場合は、以下のような注意が必要です。
・ステップ4で「OK」をクリックしてしまうと、Majaveでは繰り返し警告ウインドウは出ない。
・ステップ5〜8を実行しなくても、インストール完了のダイアログが出てしまう。
・その場合も、再起動後もセキュリティとプライバシー環境設定を開けば、通常状態なら「ドライバの読み込みがブロックされた」と表示が出続ける。
・ただし、一部のウイルス対策ソフトを導入していると、インストールしたドライバが再起動後に隔離されてしまう場合があるので、その場合は、環境設定で確認が出来なくなり、最初からインストールし直さなければならなくなる。
というわけで、もう少し、落ち着いて、状況確認と、手順を理解して再チャレンジしてみた方が良い。
別の製品を購入しても同じところで躓いてしまったら意味がない…。
以上、実際にMojave(10.14.6)で動作しているMac mini 2018で検証して見た結果です。