キャリア決済で上限が来てしまいましたが、カード以外で支払う方法はないですか？

その状態になったことがないので分かりませんがコンビニでiTunesカードを買い、そのApple IDにチャージし、Appleのサポートへ連絡して未払い分をチャージした金額から支払えれば使える様になるでしょう。

ただ未払い分がチャージしたお金から払えるのかはやったことがないので分かりません。

先にAppleのサポートでチャージした金額で支払えるか聞いたほうが良いかも。

書いてある通り、キャリアに相談して、支払いオーバーを解消してください。