アプリを起動するとサインインを求められ、次に2ファクタ認証を求められて困っています。

Googleアカウントでログインしてアプリを使うことはなんら問題ありません。

そのアプリのデータの引き継ぎ（機種変更など)のためにあなたの今までのデータをApple IDかGoogleアカウントにリンクさせることにしたのでしょう。

Game Centerだけでは、なにか不都合があって変更したのではないでしょうか。

基本的にはその他のアプリやサービスでよくある会員登録と同じことなのでお好きな方で登録したら良いと思います。

「Appleでサインイン」だと実際にはAppleが作った識別番号(個人情報無し)と入力した名前でリンク。

Goolgeアカウントの方はよく知らないけどメールアドレスと登録してある名前？ぐらいがアプリに伝わる感じです。

一般的にはこれ以外に入力したメールアドレス+パスワードにリンクがあったりしますがそのアプリにはないのかな。

AppleでサインインとGoogleアカウントだとパスワードはアプリに渡らないので少し安心です。

「Apple IDでサインイン」を使用するには2ファクタ認証が必須条件になっています。

「Apple でサインイン」とは - Apple サポート

それ以外の方法を探すしかないでしょう。

訂正：「仕様」を「使用」に修正しました。

n50 さんによる書き込み：

「Apple IDでサインインを使用するには2ファクタ認証が必須条件」とありますが

2ファクタ認証が出始めた時からそういう仕様なのでしょうか。

逆ですね。「Apple IDでサインイン」は、2ファクタ認証を前提に始まったのです。2ファクタ認証が先です。

判りにくいかもしれませんが、登録IDとしてApple IDを使うことと、「Apple IDでサインイン」とは

別のことですよ。

「Apple でサインイン」とは - Apple サポート

そのアプリが仕様変更したのでしょうね。

Apple IDが無理ならばGoogleアカウントと連携したら良いのでは？

追記

アプリケーションがわかりませんが、「Apple IDでサインイン」のアイコンを使うのではなく、

直接登録IDを入力するログイン方法はないのですか？　それが今までの方法だと思います。

今まではアプリへのログインではなく、Game Centerへのログインだけだったということですね。

それが今回「Appleでサインイン」が要求されるようになったということになるのかな。

それだと明らかにそのゲームの仕様変更ですね。アプリ側へ「Appleでサインイン」を使わない

方法はないのか、と問い合わせましょう。

>iPhoneアプリをGoogleアカウントでプレイできるのですか。

ポケモンGOはgmailでアカウント登録ですが。

訂正 ^_^;

「Apple IDでサインイン」と書いていたのは全て「Apple でサインイン」の間違いです。

Game Centerは、Apple IDに付属するゲームデータ保管庫みたいなもの（使ったことが無いので、この程度しか知らない）。

iPhoneを機種変更しても、ゲームデータを維持できるのかな。

Game Center を使って友達と一緒にゲームする - Apple サポート

Appleの2ファクタ認証は、本人確認のために不定期で要求されますが。

最近は頻度が高くなってる印象がある。