Macbook Air 2011 ディスクユーティリティの修復を試みて下さいと言われました

出してもらった写真によれば、disk0のサイズは1.39GBですから、内蔵ディスクのものではありません。内蔵ディスク上の復旧ディスクのイメージではないかと思います。内蔵ディスク本体は表示されてないことになりますので、内蔵ディスクを交換修理してもらうしかありませんが、macbook air 2011のモデルだと、オブソリートモデルということで、Appleでは修理受け付けてくれません。どこかやってくれるお店にでも持ち込んでやってもらうしかありません。しかし、今ではもうこのモデルに合うディスクは入手できないかもしれませんので、責任もって修理してもらえるお店を見つけることができるかどうか？です。

新しく買い直す方が良いと思います。

mac OD Xのバージョンはmavericksかyosemiteですかね？

システムボリュームのMacintosh HDが見えてないようですが、左蘭のdisk0を選択して、ⓘの情報をクリックするとどんな情報が表示されますか？

この表示だと、内蔵ディスクは壊れてるように思います。初期化して治るかどうかです。

もし、disk0の情報で、diskのサイズが内蔵ディスクのもの（120GB以上）が表示されるなら、初期化はdisk0を選択して消去ボタンをクリック、名前：Macintosh HDにしてOKボタンをクリックするのですが。ただ、この表示だとうまくいかない可能性があると思います。