セーフーモード、リカバリーモードで起動できない。

セーフモードなどで起動しようとするとどうなるのですか？

単にスルーされて、普通に起動してしまうのですか？

それとも画面にパスワード入力が表示されるのですか？

前者なら、キーボードのキーを押すタイミングの問題です。imacだとワイヤレスキーボードをお使いかもしれませんが、ワイヤレスキーボードだとキーを押すタイミングは特にクリティカルです。基本的には、ジャーンの起動音の直後に押すようにします。でも、ジャーンの起動音直後とか、一呼吸置いてからとか微妙に変えてみると良いかもしれません。早すぎると押してるキーが認識されませんし、遅すぎると、すでに通常起動のフェーズに入ってしまってますので目的のモードでは起動できません。起動時、あるタイミングでワイヤレスキーボードが認識されます。それより早く押してても押してるキーは無視されます。ジャーンの起動音は、すべて起動準備完了の合図で、ここからカーネルを読み込んで起動プロセスが始まります。この時にはワイヤレスキーボードは認識され使える状態になってます。ここで指定されたキーを読み取って、指定されたモードで起動します。

もし、画面にパスワード入力が促されるならファームウェアパスワードが設定されてますので、それを入力しないと指定したモードで起動できません。もしそうなら、パスワードを思い出すしかないです。思い出せない場合はAppleに修理に出すしかありません。