OSが立ち上がらなくなり、データ移行したい。

旧macbook airが立ち上がらないということは、正常な状態ではないということですので、中のファイルやフォルダーが必ずしも取り出せるとは限りませんが、以下の2つの方法なら取り出せる可能性はあります。

旧macbook airの年式がわかりませんが、そのmacがターゲットディスクモードで立ち上がるなら、それで立ち上げれば良いです。thunderbolt変換コネクタを挟めば両者をthunderboltで接続できます。

ターゲットディスクモードを使って2台のMacコンピュータ間でファイルを転送する - Appleサポート

両方のmacの接続には、

Thunderbolt 3（USB-C）- Thunderbolt 2アダプタ

と

Apple Thunderboltケーブル（0.5 m）- ホワイト

を利用すれば良いです。

旧macでターゲットディスクモードにできないなら、usb接続の外付けssdを用意して、それにmacosをインストールして、その外付けssdで立ち上げます。これで内蔵ディスクが見えるなら、そこから目的のフォルダー・ファイルをコピーすれば良いです。立ち上がらなくても、macosのディスクとしては機能することも多いので、これでうまくゆく確率はかなりあります。立ち上がらないというのはmacosが壊れてるからですが、そのことは、即、ディスクが読めないということを意味するわけではありません。

Thunderbolt2でも対応できるのでしょうか？

出来ますよ。

はにさんが提示してくれたThunderbolt 3 to 2 アダプタとThunderboltケーブルの２つを繋げると接続できます。

アダプタの製品概要のところを読めばわかるかと。

以下抜粋

双方向アダプタなので、ThunderboltポートまたはThunderbolt 2ポートとmacOS Sierra以降を搭載したMacに、新しいThunderbolt 3対応デバイスを接続することもできます。