AirPods Pro のケースが、充電をしながらでないと電源がつかない

ケースが充電できない（だから本体も充電されない）ということでしょうか。

ケーブルでつないだ状態では、ケースは100%まで充電できますか？

その状態でケーブルを外すとどうなりますか。外した途端に（ケースの）バッテリー残量が下がるようなら（またはどうしても100%まで充電できないようなら）、ハードウェアの故障（バッテリー機能の低下）かもしれません。

でも、バッテリー残量の表示が「×」を押しても何度も出てくるのは普通ではないので、一度リセットしてみてはいかがですか。リセットしてもこの不具合と充電の問題が解決しない場合は、Apple Storeか正規サービスプロバイダで見てもらうのがいいと思います。

＞そもそも電源がつかなくなるので低下しているのかも確認できない

この「電源がつかない」の意味がわからないのですが…。LEDなら、ケーブルを外せば消えるのが普通ですよ。フタを開けても点灯しないのでしょうか。バッテリーの状況はiPhoneに表示されるバナーで数値で確認できますが、そちらはどうなっていますか。

＞Applestoreで見てもらい修理するとなればいくらぐらいかかりますか？

対面で見てもらうことをおすすめしますが、まずはサポートにチャットまたは電話で相談するのでもいいかもしれません。修理料金は私にはわかりませんが、相談して修理となったときに確認すればよいのでは？　あるいは、ご自分で検索するなどして調べてみてください。Appleのサイトのどこかに記載されていると思いますので。

「ケースの電源がつかない」とはどういうことでしょう。ケースのLEDのことなら、ケーブルにつながないとつきませんが…。

＞充電をすると下からのバナーが止まらない

「下からのバナー」というのはiPhoneなどに出て充電の状況を知らせるものだと思いますが、充電しただけで出ますか？　普通はケースを開ければ出るのだと思いますが。また、バナー（というのかどうかわかりませんが）の右上に×印がありませんか？　それを押せば消えるはずです。

私も質問者様と全く同じ状況です。ケースを充電していないと、ケースとしての役割を全く果たしません。AirPods本体は充電されず、LEDもフタを開閉しても全く点灯しません。ケースを充電しているときだけ、AirPods本体も充電され、LEDも点灯します。iPhone側で見るとケースのバッテリーは96〜99%を彷徨っているような感じでした。これはバッテリーの寿命が来たと言うことなのでしょうか。

全く同じです。