メールのログインが出来ません

>私のAppleIDは@au.comで終わってる

まず、AUのサイトからこのキャリアメールを使えるようにするプロファイルをiPhoneにインストールし、

Apple IDに@au.comのメールアドレスでサインインする。

お書きの画面は、新規にiCloudメールを作る操作になっているのでは。

キャリアメールをApple IDにしておくのはトラブルの下なので、今のApple IDでサインインできた後で、iCloudメールにApple IDを変更すると便利になるのでは。

変更方法は以下を参照。

Apple ID を変更する - Apple サポート (日本)

えっと、機種変の際は クイックスタートやバックアップからの復元で行ったのではないでしょうか？

認証できないのは ネットワークの接続か サーバー側の問題だと思うので、まずは安定したWi-Fiに接続しておくか、しばらくしても変化がないなら、バックグラウンドで立ち上がっているAppすべて終了させて、iPhoneを再起動してみるとどうでしょうか。

設定＞自分の名前＞iCloud＞

の、ストレージの使用状況はどうなっていますか。

iPhoneの電源をオフにして、10分以上経った後に iCloudメールの設定をオンにしてみるとどうでしょうか。