MAC BOOK AIR 11-inch Mid 2011 を入手したので初期化して出荷時のOS(LION)を インストールしようとしています。

少し古めのmacbook airって、macOSユーティリティを立ち上げるときにwifiに接続してても、macosの再インストールでwifiが切れてしまうことがよくあります。wifiが接続できてるかどうかは、画面右上のwifiアイコンの状態で判断できます。もし、接続が切れてるようなら、wifiアイコンをクリックして接続情報を入力してやれば接続されインストールできるようになります。

もしwifi接続が切れてないにも関わらずうまくいかないなら、別のmacでusbインストーラを作成してそのusbで起動してインストールしてやる必要があります。macbook air 2011だと、出荷時は10.7、最新で10.13.6までインストールできます。どちらのバージョンも、現在は、インターネット復元はうまくいかないという書き込みが多いバージョンですね。

別のmacで10.13.6（high sierra）のインストールアプリをダウンロードして、usbインストーラを作成してインストールするのが良さそうですね。

macOS をダウンロードしてインストールする方法 - Apple サポート (日本)

macOS の起動可能なインストーラを作成する - Apple サポート (日本)

AKMAC さんによる書き込み：

comand+Rでリカバリを試みました

「comand+R」ではなく、Shift + Option + Command + R での起動を試されてみてはいかがでしょう。

macOS を再インストールする方法 - Apple サポート (日本)

ググれば、10.7.5、10.8.5でもusbインストーラ作る方法は出てきませんか？