数年前の16GBのiPad、容量不足でアップデートができません。

他の方も書かれていますが、ストレージ16GBが本当なら、数年前どころではないのでは…？

iPadの機種とiPadOSのバージョン（「設定＞一般＞情報」でわかります）を開示しないと、的確なコメントはつきにくいと思います。

使いたいアプリをApp Storeで検索すれば、「互換性」という情報があると思いますが、対応するOSバージョンはどうなっていますか？

iPad を初期化すれば、どうしても必要なシステムデータだけになって空き容量は増えると思いますが、iPadの機種とOSによっては単独で初期化できず、パソコンが必要かもしれません。

使いたいアプリの最低限のiPadOSのバージョンは幾つでしょうか、そのバージョンと現在のiPadOSのバージョンが二つ以上離れているとパソコンが必要とか…。

パソコンが有るなら、iPadのバックアップをパソコンまたはiCloudに取って、 iPad のパスコードを忘れた場合は Mac や Windows パソコンを使ってリセットする - Apple サポート (日本) の手順1から手順4迄を完了させれば、該当iPadの最終iPadOSにできる筈。

リセットしなくてもパソコンに接続した状態で最終iPadOSにアップグレードできるかもしれませんので、こちらを優先かな。

最終iPadOSにバージョンアップできたとしても使いたいアプリをインストールできるかはやってみなと分かりません。

結論から言うと、「iPad単体でのアップデートは不可能」です。

他の方も述べられているようにipswファイル(OSデータ)をMacで落としてFinderで書き込むことでアップグレードは可能ですが、失敗のリスクも大きく、最悪の場合本体が動作不能になります。

内蔵フラッシュ16GBということはiPad(第4世代)以前かと思いますが、それはiPadOS 10(またはそれ以前)までのサポートかと思います。それに対して現行バージョンはiPadOS 17、今秋に18もリリースされる予定で、大きくバージョンが開いています。iPadOSの最新版での動作が保証されているのなら、これを機に新型iPadに買い替えることもいいと思います。

iPadOSって、これからアップデートする用のファイルですか？

iPadのモデル、現在のiPadOSは何でしょうか？