"新しいiPhoneの準備"は一時的に使用できません

「端末間の直接のデータ移行」とはクイックスタートのことだと思いますが、今回お試しになった「iPhoneの準備」は、iCloudにバックアップを取り、そこから復元したいけれど、iCloudストレージにじゅうぶんな余裕がない（当面ストレージのアップグレードはしたくない）人が、臨時にiCloudストレージを利用できるという機能です。クイックスタートと直接関係はないので、クイックスタートの手順の把握には役に立ちません（クイックスタートは、バックアップがなくてもできます）。もちろん、クイックスタートがうまくいかなかったときのためにiCloudにバックアップを取っておくのは意味があり、こちらで試したところ、エラーが出ることなく次の画面に移りました（そこで「キャンセル」を選択）。

Apple IDの件は、現在何の問題もなく使えているのなら、関係ないと思います。

「一時的に」とあるので時間をおいて試してみるのもいいと思いますが、現在予定がないのなら、そこまでしなくてもいいのでは？

そんな、あらかじめ把握しておかなければならないほど複雑なものではないと思います。また、へもこさんがもし、iCloud+（ストレージ50GB以上）を契約しているなら、そもそもこの機能を使う必要はありません。

解決方法を探るなら、一度サインアウトして端末を再起動、その後再びサインインして試すとか…。でも、サインアウトしようとすると、iCloudと同期している情報がある場合、「情報を端末に残すか」とか聞かれ（「残す」でいいのですが）、何かと煩雑なので、現在そこまでやらなくてもいい気がしますが…。必要ができたときに試してみて、それでもエラーが出るようならそのときにAppleサポート（またはこのコミュニティ）に相談すればよいと思います。

原因も解決法もアレなんですが、iPhone 8 PlusのiCloudバックアップを取ってから新しいiPhoneへの復元はできないんでしょうか…?

新しいiPhoneのiOSのバージョンが古くなければ復元は可能です。

iPhone、iPad、iPod touch をバックアップから復元する - Apple サポート (日本)

上の記事の「iCloud バックアップからデバイスを復元をする」の項を参考に。