新旧iPhoneの同期を取り消したい

iCloudからサインアウト（手順は以下）

設定＞名前＞サインアウト

の状態で使う

もしくは、別のAppleアカウントを作ってサインインする

ファミリー共有のメンバーに設定して、購入アイテムの共有を設定しておけばアプリのアップデート時に、以前のAppleアカウントとパスワードを求められることもないはず。

お古のiPhoneでメールの通知を受けたくない場合は、

設定＞サウンド＞新着メール＞オフ

にするか、メールそのもののチェックをしなくてもいいなら、メールアカウントを削除してもいいと思います。

新しいiPhoneとお古のiPhoneで音楽が同期される現象は、

設定＞自分の名前＞iCloud＞

に表示されるアプリがオンになっているためなので、お古の方は設定をオフにしてもいいかもしれません。

アプリがダウンロードされる現象は、

設定＞アプリ＞AppStore＞自動ダウンロード＞アプリのダウンロード＞オン

になっているはずです。お古の方はダウンロードが不要ならオフにしてください。

ここの設定がグレーアウトして変更できない場合は、

設定＞スクリーンタイム＞コンテンツとプライバシーの制限＞オン

を、オフにすると、変更できるようになると思います。