iPhone 11 Pro - 機種変更をする際、今支払ってるAppleCareはどうなるか

Apple Care+として、Apple Careは機種変更に対応しません。

旧機種についたままになりますので、旧機種のApple Careを続けるなら、そのまま。

新機種だけにApple Careを付けるなら旧機種のサブスクリプションを解除します。

解約するのでは？

→AppleCareプランを解約する／プランのお支払い方法を変更する - Apple サポート (日本)

＞iPhoneを購入する時はApple cearを選択した場合2重支払いなどはされませんか？

Apple Care+は端末ごとにつけるものなので、旧機種の方をキャンセルしない限り、2台分支払うことになります（二重払いではありません）。