MacBook Air - App Storeに接続できません

インターネット復元になれば、最終的にはmacOS復旧ユーティリティの画面になります。この画面は、通常の復旧ユーティリティの画面と変わりません。macOSの再インストールの項目をよく見ると、macOSのアイコンが出てると思いますが、10.15（Catalina）のアイコンになってますか？

起動時、option + command + Rとしてインターネット復元に持ち込むと、最初Choose Networkのボタンが出てインターネット接続が要求されます（ただ、自宅などでいつも接続してるWiFiの場合には、自動的に繋がって、このChoose Networkのボタンが出ない時もあります）。その後、真っ黒な画面に回転する地球儀が出て、ダウンロードが始まります。ダウンロードが完了すれば、macOS復旧ユーティリティの画面になります。うまくいってれば、この復旧ユーティリティは10.15.7のもののはずです。

こんなふうになりましたか？

macOSを再インストールする方法 - Apple サポート (日本)

macOSの再インストールにすれば、どのバージョンのmacOSインストーラになってるか分かりやすいと思います。

今までに10.13（high sierra）以上にしたことありますか？

high sierra以上にしたことないと、option + command + Rで起動しても、10.15.7の復旧ユーティリティにはならないと思います。その場合は、インターネット復元はできませんので（現在、mojave以前のインターネット復元はうまくゆきません）、先の書き込みで紹介したインストールアプリをダウンロードする方法でしか対応できません。

10.8.5では古すぎて、現在のwebの標準に対応できないです。App Storeもwebにアクセスするのと同じ方法でアクセスしてますので、おっしゃるようなことになります。現在、icloudは2ファクタ認証が標準になってますが、10.8.5ではこれにも対応できないです。

macbook air 2012なら10.15.7までアップデートできます。

起動時、option + command + Rとして起動し、インターネット復元に持ち込めば10.15.7にできませんか？

今まで、10.13以上にしたことないならインターネット復元の振る舞い自体が違いますので、10.15.7にはできませんけど。

別のmacがあるなら、以下のサポート記事にアクセスしてmacOSインストーラアプリをダウンロードして、目的のmacOSにすることもできます。

macOSをダウンロードしてインストールする方法 - Apple サポート (日本)

10.8.5のmacでは、このページにアクセスしても、中身は何も表示できません。10.11以上なら中身にアクセスできると思います。

ただ、ダウンロードするには、そのmacでインストール可能なmacOSバージョンのインストールアプリしかダウンロードできませんので、最新のAppleシリコン機では10.11とか10.15のインストールアプリをダウンロードすることはできません。

ただ、インストールアプリをダウンロードしても、そのままでは使えませんので、そのインストールアプリからusbインストーラを作成して（上のサポート記事には作成法のサポート記事へのリンクもあります）、そのusbインストーラを利用してインストールすることになります。