OSを再インストールしたらAPP Storeに接続できなくなった

起動時option + command + rとしてインターネット復元で立ち上げれば、もっと新しいmaccOSにできると思うけど。

しかし、macbook air 2015って間違い無いですか？

もし、macbook air 2015ならmountain lionにはならないと思うのですが。そもそもMacBook air 2015にはmountain lionをインストールできないです。MacBook air 2015なら工場出荷時のmacOSはyosemite（10.10.x）です。なぜ、もっと古いmountain lionになっちゃうのでしょう？

mountain lionだと2ファクタ認証には対応してませんので、あらかじめ別の2ファクタ認証に対応したデバイスで確認コードを取得しておいて、Apple IDのパスワードにつづけてその確認コードを入れてやらないとapp storeに接続できないと思います。

いずれにしろ、option + command + rとしてインターネット復元にしてmacOSを再インストールし直す方が良いと思います。これなら、macbook air 2015ならmontereyにできるはずです。

もう一台のmacbook proでusbインストーラを作成して、そのusbインストーラからインストールしても良いかもしれません。

macOS をダウンロードしてインストールする方法 - Apple サポート (日本)

にsafariでアクセスすれば目的のmacOSバージョンのインストーラアプリをダウンロードできます。このサポート記事にはusbインストーラの作成法のリンクもあります。