"me.com"とは、どういう意味のドメイン名なのでしょうか？

失礼致します。

ところで、"me.com"とは、どういう意味で名付けられたドメイン名なのでしょうか？

意味と言うか、流れとしては以下の様になっており、只単に サービス名が改称され、MobileMe で利用されるメールドメインなので、「@me.com」にした と思われます。

1. 2000 年 1 月 5 日：Mac ユーザ向けの無料サービスとして iTools を開始（その時のメールドメインが、「@mac.com」）。
2. 2002 年 7 月 17 日：有料で .Mac をスタート。
3. 2008 年 7 月 9 日：MobileMe に名称変更（その時のメールドメインが、「@me.com」）。
4. 2011 年 10 月 12 日：iCloud がサービス開始（その時のメールドメインが、「@icloud.com」）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/MobileMe

下記リンクもご参考までに。

iCloud：@icloud.com、@me.com、および @mac.com メールアドレスについて - Apple サポート (日本)

iCloudの前進サービスにMobileMeというものがあり、それで付与されるのがme.comドメインでした。

アップル、MobileMeインターネットサービスを発表 - Apple (日本)

iCloudに移行し、どちらでも使えるようになっているということのようです。

「自分」のmeでしょうね。

気になって、一日に3時間しか昼寝が出来ません。

健康的ですね。