Lightning - SDカードカメラリーダーを使用し、保存を押すと写真のような表示が出ます

ダウンロードって、icloud写真使ってますか？

icloud写真使っててパソコンがあるなら、パソコンでもicloud写真を使うようにすればパソコンでも写真やビデオを見られるようになります。この方が簡単だしトラブルも起きないと思います。icloud写真を使ってるなら、ストレージを最適化をオンにして使えば、一定の空き容量を確保できます。

iCloud 写真を設定・使用する - Apple サポート (日本)

Lightning - SDカードカメラリーダーはカメラのsdカードからiPhoneに写真を取り込むのが主な機能で、sdカードに保存するのはトラブルが多いですし、そもそも使えないことが非常に多いです。

どうしてもiPhoneからsdカードに写真を保存したいなら、Lightning - USB 3カメラアダプタを使って、acアダプタから給電しながら使うのが無難です。